Tangente Sup 57/58 – Les groupes
SOMMAIRE
La longue naissance des groupes
Les groupes sont souvent vus comme une création d’Évariste Galois. Cependant, des précurseurs et des continuateurs ont Âœuvré pour que la notion de groupe, telle qu’on la connaît aujourd’hui, soit dégagée.
Les groupes finis
Un groupe est fini quand il ne possède qu’un nombre fini d’éléments. Cette caractéristique lui confère de nombreuses propriétés. Par exemple, les cardinaux du groupe et des sous-groupes sont liés.
Permuter des cubes
Les permutations d’un objet symétrique forment un groupe. Les résultats sur les permutations peuvent être vus simplement en jouant avec des cubes. Ils sont alors très naturels.
Le groupe de Klein
Pourquoi les mathématiques sont-elles si efficaces dans tant de domaines différents ? Peut-être car elles s’intéressent aux structures entre les objets étudiés et sont dès lors générales et unificatrices.
Comment définir les groupes abstraits
Les premiers groupes considérés par Galois sont des groupes de permutations. En 1854, Arthur Cayley est le premier à en donner une définition axiomatique. Comment a-t-il fait ?
Loi de groupe sur une cubique
L’intersection d’une cubique et d’une droite est formée de trois points. Cette propriété simple permet de définir une loi de composition interne sur la courbe. Cette loi définit en général un groupe…
Groupes de Lie et équations différentielles
Depuis plus d’un siècle, Sophus Lie a établi une méthode systématique pour trouver les solutions analytiques, quand elles existent, d’une équation différentielle.
Et aussi
Belles preuves
Erreurs et paradoxes
Notes de lecture
En bref
Avis de recherche
Nouvelle
Mathématiques récréatives
Solutions
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